Capítulo 1. INTEGRALES CURVILÍNEAS
Y DE SUPERFICIE 1
1.1. Algo sobre las curvas 1
1.1.a. Acerca de la noción de curva 1
1.1.b. Distintas parametrizaciones de una curva 2
1.1.c. Curvas lisas 2
1.1.d. Vector tangente 2
1.1.e. Sobre la longitud de una curva 3
1.1.f. El arco como parámetro 3
1.1.g. Curvas cerradas y simples 3
1.2. Integrales curvilíneas 4
1.2.a. Integral curvilínea de un campo escalar 4
1.2.b. Circulación (de un campo vectorial) 5
1.3. Campos irrotacionales; función potencial 7
1.3.a. Definiciones 7
1.3.b. Propiedades 7
1.3.c. Determinación del potencial 9
1.4. Independencia del camino 10
1.4.a. Propiedad 1.a 10
1.4.b. Propiedad 2.a 10
1.4.c. Propiedad 3.a 11
1.5. Teorema de Green (o de la divergencia
en dimensión 2) 11
1.5.a. Teorema de Green (caso básico) 11
1.5.b. Expresión vectorial del teorema de Green 12
1.5.c. Generalización del teorema de Green 13
1.5.d. Aplicación al cálculo de integrales dobles 13
1.5.e. Aplicación al cálculo de áreas 13
1.6. Algo sobre las superficies 14
1.6.a. Acerca de la noción de superficie 14
1.6.b. Superficies explícitas e implícitas 15
1.6.c. Plano tangente y recta normal 15
1.6.d. Vectores sobre el plano tangente 17
1.6.e. Área de una superficie 18
1.7. Integrales de superficie 22
1.7.a. Integral de superficie de un campo escalar 22
1.7.b. Flujo de un vector a través de una superficie 24
1.8. Los teoremas de Gauss y de Stokes 26
1.8.a. El teorema de Gauss (o de la divergencia
en dimensión 3) 26
1.8.b. Aplicación del teorema de Gauss al cálculo
de una integral triple 28
1.8.c. Consecuencias del teorema de la divergencia 30
1.8.d. Teorema de Stokes 30
1.8.e. Campos irrotacionales y funciones potenciales 33
1.8.f. Campos solenoidales 34
Ejercicios y Cuestiones 37
PROBLEMAS ÚTILES 69
Al parecer de muchos, entre los que me incluyo, el rumbo que van
tomando los asuntos relativos a la docencia no es, ni con mucho, el más
idóneo. A todos nos gustaría que las cosas marcharan por excelentes
caminos, por la vía del acierto, la eficacia y el tesón. Por desgracia, no
son así las cosas, que últimamente se ha venido engendrando más de
un desacierto y no faltan ni vicios ni fracasos.
Nos interesa señalar aquí uno de los tales vicios, el cual nos ha
movido a publicar una colección de pequeñas monografías, del porte
de esta que estamos prologando. Nos referimos a la maña o resabio, de
los estudiantes, de preocuparse sólo de aquello que presumiblemente
les pudiera caer en el examen. Este deplorable hábito, que de siempre
han tenido los malos estudiantes, hoy se ha extendido a la generalidad.
Y ello no es casualidad, pues acontece que ese vicio pernicioso se ha
visto reforzado por el actual modo de hacer en la enseñanza, que va a
mínimos, que reduce temarios, que se conforma con poco, que escasamente
ahonda en lo que explica. Al mismo tiempo, y para más inri, está
aconteciendo que, con tal modo pervertido de proceder, hoy se está
consiguiendo aprobar, con holgura, en casi todas partes.
Sería muy deseable el poder erradicar este vicio, pero no es cosa
que esté al alcance de cualquiera; sólo una voluntad decidida de toda la
comunidad educativa, empezando por su cabeza, podría conseguir el
abandono de este vicio, y el de otros muchos que hoy se han extendido.
Pero mientras que eso llega, que ojalá llegue, no podemos más que
ofrecer alguna ayuda o apoyo que mitigue los efectos de este modo de
proceder. Con este conjunto de libros monotemáticos intentamos conseguir
que, al menos, aquello poco que se estudie, se estudie con seriedad,
con un mínimo de rigor, entendiéndolo y no quedándose en la
memorización, con su soporte incluido, no superficialmente.
De igual modo que, cuando llueve, las aguas van, inevitablemente,
hacia abajo, así cuando a los estudiantes se les ofrece una vía fácil para
aprobar, ellos la usarán, inevitablemente también. Aunque no se puede
conseguir que el agua marche hacia arriba, sí se la puede embalsar,
para que no haga destrozos al bajar, quizá torrencialmente. Con este
libro sobre Integrales Curvilíneas y de Superficie, se pretende frenar la
bajada de las cosas del estudiar; mucho nos gustaría que nuestro éxito
fuera de tal calibre que las tales cosas comenzaran un subir, pero ello
sería un éxito excesivo, que creemos no está al alcance de los mortales
